Бесплатная диагностика
Мини-пробник
ЕГЭ‑2027
Восемь заданий из проекта демонстрационного варианта профильной математики. Решите их в своём темпе, получите автоматическую проверку, карту тем и подробный разбор.
результат сразу на экране
- 8
- заданий
- ≈20
- минут
- 8
- тем и навыков
- 01Решаете без подсматривания
- 02Получаете проверку по каждому ответу
- 03Сверяете ход решения и следующий шаг
Материал: проект демонстрационного варианта ФИПИ ЕГЭ‑2027. Результат диагностический и не является официальным тестовым баллом.
Диагностика завершена
Разберём результат
Сверьте не только ответ,
но и ход решения
Откройте каждое задание. Красная метка показывает ошибку или пропуск, зелёная — верный ответ.
Задание 1 · планиметрия
Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны.
- 01Записываем свойство описанного четырёхугольника
AB + CD = BC + AD.
- 02Связываем это свойство с периметром
В периметре каждая из равных сумм встречается один раз:
P = (AB + CD) + (BC + AD) = 2(AB + CD). - 03Подставляем известные числа22 = 2(8 + CD) → 11 = 8 + CD → CD = 3.
Задание 3 · стереометрия
Средняя линия отсекает треугольник, подобный основанию с коэффициентом 1/2. Боковые рёбра новой и исходной призм при этом равны и параллельны.
- 01Сравниваем основания
Длина каждого соответствующего отрезка малого треугольника в 2 раза меньше. Поэтому его периметр также в 2 раза меньше периметра исходного основания.
- 02Сравниваем боковые грани
Каждая боковая грань — параллелограмм. Одна его сторона уменьшилась в 2 раза, а боковое ребро и угол между сторонами не изменились. Значит, площадь каждой соответствующей боковой грани уменьшилась в 2 раза.
- 03Восстанавливаем площадь исходной призмыSмал. = ½Sисх., поэтому Sисх. = 18 · 2 = 36.
Задание 4 · вероятность
Нас спрашивают о противоположном событии: билет должен оказаться без вопроса про углеводороды.
- 01Находим число подходящих билетов80 − 56 = 24.
Всего 24 билета не содержат нужного вопроса.
- 02Делим число благоприятных исходов на число всех исходовP = 24/80.
- 03Сокращаем дробь24/80 = 3/10 = 0,3.
Задание 7 · уравнения
Приводим обе части уравнения к одной и той же основе. У показательной функции с основой 4 разные показатели не могут давать одинаковое значение.
- 01Представляем 64 как степень числа 464 = 4 · 4 · 4 = 4³.
- 02Приравниваем показатели4x−4 = 4³ → x − 4 = 3.
- 03Находим корень и проверяемx = 7; 47−4 = 4³ = 64.
Задание 8 · преобразования
Углы 164°, 82° и 8° подобраны так, чтобы перейти к одному углу 8° и применить формулу двойного угла.
- 01Преобразуем синус 164°sin 164° = sin(180° − 16°) = sin 16°.
- 02Раскрываем синус двойного углаsin 16° = 2 sin 8° cos 8°.
- 03Преобразуем второй множитель знаменателяsin 82° = sin(90° − 8°) = cos 8°.
- 04Подставляем и сокращаем3 · 2 sin 8° cos 8°cos 8° · sin 8°= 3 · 2 = 6.
Задание 10 · прикладная задача
После решения квадратного уравнения нужно проверить физический смысл каждого корня: формула описывает движение только до полной остановки автомобиля.
- 01Подставляем данные в формулу пути36 = 15t − (2t²)/2 = 15t − t².
- 02Переносим всё в одну частьt² − 15t + 36 = 0.
- 03Находим корниD = 15² − 4 · 36 = 225 − 144 = 81.t₁ = (15 − 9)/2 = 3; t₂ = (15 + 9)/2 = 12.
- 04Проверяем область применимости
Скорость во время торможения равна v = 15 − 2t. Автомобиль остановится при 15 − 2t = 0, то есть через 7,5 секунды. Поэтому t = 12 не описывает реальное торможение.
- 05Проверяем подходящий кореньS(3) = 15 · 3 − 3² = 45 − 9 = 36 м.
Задание 11 · движение
Оба велосипедиста прошли одинаковые 90 км. Различается время: более быстрый затратил на путь на 3 часа меньше.
- 01Вводим переменную
Пусть скорость второго, более медленного велосипедиста равна x км/ч. Тогда скорость первого равна x + 5 км/ч, причём x > 0.
- 02Выражаем время по формуле t = S/v
Второй едет 90/x часов, первый — 90/(x + 5) часов. Второй находится в пути на 3 часа дольше:
90/x − 90/(x + 5) = 3. - 03Решаем уравнение450 / (x(x + 5)) = 3 → x(x + 5) = 150.x² + 5x − 150 = 0 → x = 10 или x = −15.
Отрицательная скорость не подходит, поэтому x = 10.
- 04Отвечаем именно на вопрос задачи
Первым пришёл более быстрый велосипедист. Его скорость:
x + 5 = 10 + 5 = 15 км/ч. - 05Проверяем
Первый затратил 90/15 = 6 часов, второй — 90/10 = 9 часов. Разница действительно равна 3 часам.
Задание 16 · неравенство
Сначала находим область допустимых значений, затем заменяем log₂ x новой переменной и сводим выражение к квадратному неравенству.
- 01Находим ОДЗ
Во внешнем логарифме log₂(log₂ x) аргумент должен быть положительным:
log₂ x > 0 → x > 1. - 02Делаем замену
Положим t = log₂ x. Из ОДЗ сразу получаем дополнительное условие t > 0.
- 03Преобразуем обе части выражения2log₂ t = t, log₄ x = log₂ x / log₂ 4 = t/2.
Исходное неравенство принимает вид:
t + t²/4 − 3 ≤ 0. - 04Решаем квадратное неравенствоt² + 4t − 12 ≤ 0 → (t + 6)(t − 2) ≤ 0.
По методу интервалов получаем t ∈ [−6; 2]. Пересекаем с условием t > 0:
0 < t ≤ 2. - 05Возвращаемся к переменной x0 < log₂ x ≤ 2.
Поскольку основание 2 больше 1, направление знаков не меняется:
1 < x ≤ 4. - 06Проверяем границы
x = 1 не входит в ОДЗ, поэтому левая граница открытая. При x = 4 получаем t = 2 и равенство нулю, поэтому правая граница включается.
Хотите понять, как поднять балл?
Пришлите результат в Telegram. Обсудим пробелы, цель и формат занятий — без обязательств и длинной анкеты.
Задания воспроизведены по материалам проекта демонстрационного варианта ЕГЭ‑2027 по профильной математике, ранее загруженного в учебный банк. Актуальная структура экзамена сверена с проектом спецификации ФИПИ. Диагностика не заменяет официальный экзамен.