Как научиться читать графики функций

Сначала оси и масштаб

Найдите ось аргумента x и ось значения y. Укажите цену одного деления по каждой оси: соседние линии сетки не обязательно означают одну единицу. Уточните, на каком промежутке дан график и включены ли его границы.

Если на рисунке отмечены пустая и закрашенная точки, их различие может менять ответ. Не продолжайте график за пределы изображённого промежутка без основания в условии.

От значения аргумента к значению функции

Чтобы найти f(2), от x = 2 двигайтесь к графику, затем считайте соответствующую координату y. Чтобы решить f(x) = 2, наоборот, смотрите пересечения графика с горизонтальной прямой y = 2 и выписывайте их x.

Нули и знак функции

Нули — значения x, при которых график пересекает ось x или касается её, а y равен нулю. Положительные значения функции находятся выше оси x, отрицательные — ниже. Не путайте отрицательное x с отрицательным y.

У f(x) = x² нуль один: x = 0. При x = −2 значение положительно: f(−2) = 4. Поэтому левая половина графика не означает, что функция отрицательная.

Возрастание — не то же самое, что положительность

Функция может возрастать ниже оси x. Следите за движением слева направо: если значения y становятся больше, речь о возрастании. Когда вопрос относится к производной, сначала уточните, изображён график самой функции или её производной.

1. Прочитать, какой объект изображён.
2. Назвать требуемое свойство словами.
3. Выбрать нужные точки или промежутки.
4. Проверить границы и записать ответ в требуемом виде.

Небольшая самостоятельная проверка

Возьмите y = x² − 4. Найдите значение при x = 1, нули и промежуток отрицательных значений. Получится −3; нули −2 и 2; отрицательность при −2 < x < 2. В точках −2 и 2 значение равно нулю, поэтому они не входят в ответ на вопрос «меньше нуля».

Если результаты не совпали, определите, на каком шаге возникла путаница: вычисление, координаты, смысл неравенства или включение границы. Отрабатывайте именно этот шаг.

Частые вопросы

Нужно ли знать формулу, чтобы читать график?

Не всегда. Многие свойства можно получить из самого изображения, если масштаб и область показаны достаточно точно.

Как не путать f(x) и f′(x)?

Перед решением подпишите, чей график дан. Знак производной связан с изменением функции; знак самой функции показывает её положение относительно оси x.